Hay veces que la actualización automática de WordPress simplemente no funciona. La mejor solución que encontré en los foros del popular CMS fue actualizar a mano.
Siguiendo esta guía no tiene que haber problemas.

  1. Descargar la última versión de WordPress desde la web oficial. Link (verificar que sea el mismo idioma que ya usamos).
  2. Descomprimir el archivo que descargaron en su PC.
  3. Desactivar los plugins. Ante la duda, tomen nota de que plugines utilizan y están activados.
  4. Renombrar las viejas carpetas wp-includes y wp-admin en el servidor web. Por ejemplo la podemos llamar wp-admin-old.
  5. Subir las carpetas wp-includes y wp-admin desde nuestra PC al sitio.
  6. Subir los archivos que están en la carpeta wp-content en nuestra PC a la misma carpeta en el servidor web. Es muy importante no subir la carpeta, solo los archivos. NO eliminar ningún archivo del sitio web, solo remplazar los archivos que ya existan.
  7. Subir los archivos que quedaron el el directorio raíz de nuestra PC a la misma ubicación en el sitio web.
  8. Por último activar los plugins que necesitemos.

Seguramente al ingresar al wp-admin, nos indique que es necesaria una actualización de la base de datos. Solo hay que seguir las instrucciones.